《从一到无穷大》｜科学中的事实与臆测。

核心书摘

《从一到无穷大》是当今世界最有影响的科普经典名著之一，1970年代末由科学出版社引进出版后，曾在国内引起很大反响，直接影响了众多的科普工作者。作品以生动的语言介绍了20世纪以来科学中的一些重大进展。先漫谈一些基本的数学知识，然后用一些有趣的比喻，阐述了爱因斯坦的相对论和四维时空结构，并讨论了人类在认识微观世界（如基本粒子、基因）和宏观世界（如太阳系、星系等）方面的成就。

关于作者

乔治·伽莫夫，世界著名物理学家和天文学家。伽莫夫1904年生于俄国敖德萨市。1928年获苏联列宁格勒大学物理学博士学位。先后在丹麦哥本哈根大学和英国剑桥大学（师从物理学家玻尔和卢瑟福），以及列宁格勒大学、巴黎居里研究所、密执安大学、华盛顿大学、加利福尼亚大学伯克利分校、科罗拉多大学从事研究和教学工作。1968年在美国科罗拉多州的博尔德逝世。

本书鲜知

学什么？如何利用科学重新认识世界

这是一本属于“通才教育”的科普书，内容涉及自然科学的方方面面。但与其它常见的按主题分类来写作的科普著作不同，作者以一个个故事打头和串联，他把数学、物理、化学乃至天文学、地质学、生物学、以致遗传密码的许多前沿内容有机地融合在一起，让读者跟着他天马行空、遨游世界。全书都用数学的1和∞贯穿起来，从基本的数学知识谈起，用大量有趣的比喻，重点阐述了爱因斯坦的相对论和四维时空结构，给读者展示了一个全新而充满趣味的物理世界。

你还会发现

· 空间的不寻常的性质；

· 时间和空间的相对性；

· 空间的不寻常的性质。

一、无穷大到底有多大

首先，我们来看看本书的第一个重点内容：无穷大到底有多大。

我们学数学的时候，就听说过“无穷大”这个概念，但你能想象出无穷大的数字到底有多大吗？“无穷算术之父”格奥尔格·康托尔，就提出了疑问：“所有数字的数量是无穷的，一条线上点的数目也是无穷的，那整数的个数和一条线上点的个数到底哪个更大一些呢？”

为了找到问题的答案，康托尔和其他数学家还真想出了比较两个无穷数大小的办法，他们把两个无穷数所代表的对象集合进行一一对应，这样，一个无限集合中的每一个对象都和另一个无限集合中的每一个对象配成一对。如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数更大。

举个例子，假如你手上有一堆石头和一堆铜钱，怎么知道是石头的数目多，还是铜钱的数目多呢？最简单的方法就是把石头和铜钱一个个摆开，然后一一配对，用一个石头对应一个铜钱，如果最后铜钱有剩余，那就是铜钱多；反过来，就是石头多；如果刚好能一一对应没有剩余，那铜钱和石头就相等。

我们还可以用这个方法比较奇数和偶数。用奇数一对应偶数二，奇数三对应偶数四，奇数五对应偶数六，这么一来，就会发现奇偶数可以一一对应，所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。那么，偶数的总数和整数的总数，哪个更多呢？我们都知道，整数包含了所有的偶数和奇数，所以乍一看，肯定是整数要比偶数多。

但如果用一一对应的规则来算一下的话，你就会发现不是那么回事了。整数一可以对应偶数二，整数二可以对应偶数四，整数三可以对应偶数六，你可以一直这么对应下去，发现两者刚好是可以一一对应、一个不多一个也不少的，也就是说整数的数目跟偶数的数目其实是一样多的。由此我们可以得出结论，在无穷大的情况下，部分是可以等于整体的。

二、我们的世界可以弯曲吗

接下来，我们来看看本书的第二个重点内容：我们的世界可以弯曲吗。

我们都知道空间是什么，但却很难给出一个准确的定义。而且在我们的认知里，世界在空间上是三维的。空间其实就是由三个相互独立且垂直的方位所组成的存在体，简单来说就是如果你想要确定任何一个位置，至少需要三个维度的数据才能确定，比如经度、纬度和高度。

几何学就是一门对空间进行测量的科学，几何学的核心问题常常是数学中最让人兴奋也是最困难的内容之一。中国的几何学可能要追溯到明朝万历年间著名的科学家、政治家徐光启身上。

徐光启三十一岁那年，来到广东韶州教书，正赶上明朝远洋技术发展，有很多博学的传教士来中国沿海开展传教活动。徐光启在教堂里，第一次见到、结识了正在中国四处游历的意大利传教士利玛窦神父。

当徐光启四十三岁终于中了进士，留在了北京翰林院的时候，那时的利玛窦神父已经在中国各地游历了八年，他对天文、数学、测量、武器制造等近代科学知识颇有见地，于是徐光启立刻拜利玛窦为师。为了方便和利玛窦来往，徐光启还在利玛窦的住宅附近租下一间房屋居住读书、探讨切磋，后来俩人还翻译了古希腊数学家欧几里得的巨著《几何原本》，立志要系统地引进外国的科学知识。

徐光启几乎把全部业余时间和精力都花在了《几何原本》的翻译上，差不多有半年多的时间，徐光启每天处理完朝廷公务后，就立即前往利玛窦的住所，利玛窦逐句讲述，他逐字记录，回到家里之后，还要把记录的稿子整理、修改、润色，时常工作到深夜。

这对徐光启来说是个非常艰巨的挑战，因为当时的士大夫考科举只考八股文，从来不涉及数学或者自然科学，徐光启也从来没有涉猎过和数学相关的专业书。在翻译的过程中，利玛窦发现，中文里并不缺乏能表达科学术语的词汇，比如说，“几何”一词，在汉语就已经有好几个意思，可以表示多少，如果用于询问数量，可以说“所获几何？”；也可以表示没有多久，比如曹操的诗“对酒当歌，人生几何？”，于是，徐光启就和利玛窦共同合作，把“几何”作为专业数学术语引进了汉语体系并沿用至今。

经过他们两个人一年多的合作，中文版的《几何原本》前六卷终于出版。这本书系统地介绍了直边形和其他几个图形的性质和有关定理，像“大于直角的角叫钝角，小于直角的角叫锐角”；“平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线”等定理，都出自这本书，我国虽然也有《九章算术》等数学典籍，但并没有完善的学术系统，更缺少像点、线、面这样专业的数学术语。

可以说，《几何原本》是中国科学史上第一部系统翻译的数学著作，这本书让我们开始用“空间”的视角去看待世界。那你有没有试想过，我们生活的三维空间有没有边界呢？这个空间又能不能变形弯曲呢？这可能很难得出结论，因为人类自己就生活在三维空间里，只能从内部去观察这个空间，而不能从外部真正形象直观地去认识空间。

我们都学过，平面上三角形的三个内角之和等于180度。但在曲面上这个结论就不成立，如果你在地球仪上画一个三角形，然后把它的三个内角加起来，这个数字就会大于180度。后来，科学家们在二维世界里选了三个点组成一个三角形，然后去测量这个三角形的三个内角之和，如果结果刚好等于180度，那就说明二维世界是一个平面；如果结果大于180度，那就说明二维世界是一个曲面。

三、四维空间是如何构建起来的

我们已经了解了三维空间和爱因斯坦的广义相对论，你有没有试想过，我们还有可能处在四维空间呢？如果有可能的话，这个四维空间又是如何构建起来的？

要理解四维空间，首先要认识“虚数”的概念。

我们从小接触的数学理论就是，一个数的平方永远是正数，负数是没有平方根的。但其实数学家们在进行计算的时候，经常会碰到负数的平方根。比如说，有没有可能找出两个数字，让它们加起来等于10，乘积等于40呢？在实数范围内来看，答案是不存在的。但如果允许负数的平方根存在的话，那我们就有可能找出一个答案。

数学家给负数的平方根起了个名字，跟实数相对应，叫虚数，还规定，根号-1叫i，根号-20就是20i。但一直以来，人们都不承认虚数的存在，就连著名数学家欧拉也说：“虚数就是想象出来的数，是不可能存在的，它们什么都不是，纯属虚幻。”

直到两个业余数学家为虚数做了简单的几何解释，虚数才算是有了一个名分，这两个数学家分别是挪威测量师韦塞尔和巴黎会计师阿尔冈。他们构建起了数轴，画一条横线表示实轴，然后标上一个零点，左边是负数，右边是正数，实轴上的都是实数。再画一条垂直的纵线贯穿零点，表示虚轴，虚轴上的都是虚数。这两条轴线就组成了坐标系，所有的数字都可以在坐标系里一一定位。比如说，3+4i就是先在实轴零点的右边找到3，然后再在虚轴的上方找到4i,两者的交汇点就是3+4i了。那这么做有什么意义呢？

如果我们把实数3乘以虚数单位i就可以得到一个位于纵轴上的纯虚数3i，因此，我们可以想象一下，把一个实数乘以i,在几何学上相当于将这个对应点逆时针旋转90°。根据这个原理，我们就可以用虚数来把时间和空间结合起来，构建起四维空间。

我们发现时间和空间并不是绝对独立的，也不是恒定不变的。我们现在来做个假设，如果你在陌生的地方，向酒店前台咨询如何才能找到某某公司的办事处，这时工作人员可能会回答：“向南步行五个街区，接着右转经过两个街区，找到这家公司再往上爬七层楼。”

但如果我们想要准确记录我们在办事处具体发生了什么事情，就必须加上第四个维度也就是时间。其实时间就和虚数一样，是我们赋予的一个主观概念。

如果要把时间看成是第四维度，就必须要考虑一个问题，那就是，当我们测量长、宽、高的时候，可以使用同一个单位，比如米或公里，但是时间却不能用米或公里来衡量，还得用分钟或者小时。那么我们怎么比较在一个四维时空里两个事件之间的距离呢？

这个问题看起来有点复杂，但是其实这个方法是我们每个人在生活中都已经掌握的。

举个例子，问路的时候，你问：“请问从这到市中心得有多远呢？”，别人可能会说：“坐公交需要一个小时，如果坐地铁半个小时就到了。”这就是一个典型的用时间表示距离的方法，通过给出选乘某种交通工具到达某地所需要的时间，就可以具体化我们空间上的长度。也就是说，我们只要找到某种标准的速度，就可以把时间换算成空间。

那标准的速度应该是什么呢？物理学家发现，光在真空中传播的速度是目前已知的唯一恒定的速度，也就是我们常说的“光速”。如果我们把光速和时间结合到一起，就可以得到一个距离单位，比如光年就代表光在一年时间内传播的距离。如果我们要计算五分钟相当于多远，那就用五分钟乘以光速就能得到一个距离。

现在我们应该可以问问自己，在四维时空中，两点之间的距离应该怎么理解？每个点对应着“事件”，那么两个事件在时空上的距离是多远呢？

有人可能会说，这很简单啊，刚才说了我们可以算出两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速就能得到这个距离。但是这只是两件事在空间上的距离，然而时空上的距离还没有解决。

总结

以上就是《从一到无穷大》这本书的主要内容，在这本书中，我们首先介绍了运用一一对应的法则可以比较无穷大的数，发现在数学世界里，整体是可能等于部分的。其次我们认识了爱因斯坦的广义相对论，通过测量地球和恒星之间的夹角，就能发现大质量的物体会导致空间发生弯曲，而万有引力的本质就来源于空间的弯曲。最后我们了解了虚数就是负数的平方根，利用虚数就能把时间和空间结合起来，构建四维空间，这就是爱因斯坦的狭义相对论。

《从一到无穷大》是当今世界最有影响力的科普经典著作之一，2018年，清华大学的校长邱勇把这本书送给所有新生的时候，写下了一封信，他在信中说：“伟大的物理学家爱因斯坦说：‘科学的不朽荣誉,在于它通过对人类心灵的作用，克服了人们在自己面前和在自然面前的不安全感。’我希望你们通过阅读这本书，学习科学的思维方法，培养科学的精神，并在实践中不断提升科学素养，更好地认识世界、把握未来。”而邱勇校长的这段话，也道出了我们选这本书的初衷。

恭喜你和“今今乐道”读书会一起读完了你生命中的第 2272 本书，希望今天的内容能给你有益的启发。（作者：曾子墨）

（语音、文字、图片部分来自今今乐道APP和网络，老农整理）